004.62; 512.54; 004.056.55

В условиях обработки и хранения больших объемов связанных пространственно-временных данных критически возрастает потребность в бесшовных криптографических методах разграничения доступа, обладающих постквантовой стойкостью. Целью исследования является разработка иерархической схемы шифрования топологии и атрибутов графовых баз ГИС, позволяющей хранить зашифрованную информацию в виде единой монолитной строки, доступ к сегментам которой дифференцируется динамически в зависимости от роли субъекта в древовидной структуре прав. В основу предложенного подхода положен оригинальный математический синтез аппарата комбинаторной теории групп - свободного произведения групп с объединенной подгруппой и классической криптографической схемы Акла-Тейлора для частично упорядоченных множеств классов безопасности. Разграничение доступа реализуется за счет уникальных свойств приведения групповых слов к нормальной форме. Разработана технология сериализации элементов графа с использованием алфавита представителей левых смежных классов множителей амальгамы. Показано, что суперпользователь, обладая полным набором постоянных элементов (ключей) из объединяемой подгруппы, способен дешифровать любой подграф. Для нижестоящих уровней СУБД генерируются ключи на основе однонаправленного каскадного «просачивания» элементов подгруппы сквозь блоки под действием автоморфизмов. Это обеспечивает автоматический доступ пользователя ко всем подчиненным узлам при его полной изоляции от параллельных ветвей графа. Предложенная схема исключает избыточность хранения и претендует на постквантовую стойкость, обусловленную SQ-универсальностью амальгам. Наличие «алгебраического остатка» на конце строки обеспечивает встроенный контроль целостности данных, исключая несанкционированную подмену графа злоумышленником.

Managing and securing massive spatiotemporal datasets critically demands seamless cryptographic access control mechanisms capable of withstanding post-quantum threats. This paper introduces a hierarchical encryption framework designed specifically for the topology and attributes of graph-based GIS databases. The proposed method consolidates encrypted information into a single monolithic string, where segment-level access is dynamically adjusted according to the user's role within a tree-like privilege structure. At its core, the approach relies on a novel mathematical synthesis that blends combinatorial group theory - specifically, the free product of groups with an amalgamated subgroup - with the classical Akl-Taylor cryptographic scheme tailored for partially ordered security classes. Security enforcement hinges on the inherent algebraic properties of group words when reduced to their normal form. We also present a novel graph serialization technique that utilizes the alphabet of left coset representatives derived from the amalgam factors. Within this framework, a superuser holding a complete set of static keys from the amalgamated subgroup can successfully decrypt any given subgraph. For lower-level database management systems, subordinate keys are derived through a unidirectional cascading "percolation" of subgroup elements across blocks, driven by automorphisms. This mechanism guarantees that users automatically inherit access to all descendant nodes while remaining strictly isolated from parallel branches of the graph topology. By architecture, the scheme eliminates storage overhead and achieves post-quantum resilience rooted in the SQ-universality of amalgams. Furthermore, an "algebraic remainder" appended to the end of the data string functions as a built-in integrity check, effectively preventing malicious graph tampering or unauthorized payload substitution.

кандидат физико-математических наук, заведующий кафедрой Высшей математики, ФГБОУ ВО Московский государственный университет геодезии и картографии

Akl S.G., Taylor P.D. Cryptographic Solution to a Problem of Access Control in a Hierarchy. ACM Transactions on Computer Systems. 1983. Vol. 1. No. 3. Pp. 239-248. DOI: 10.1145/357369.357372.

Damiani M.L., Bertino E., Catania B., Perlasca P. GEO-RBAC: A spatially aware role-based access control model. ACM Transactions on Information and System Security (TISSEC). 2007. Vol. 10. No. 1. Art. 2. DOI: 10.1145/1210263.1210265.

Rodriguez-Aragon J.F., Zato C., Pinto-Santos F., Sanchez-Pravos L. KATENA: a verifiable governance architecture for encrypted cloud storage systems. Frontiers in Big Data. 2026. Vol. 9. Art. 1829960. DOI: 10.3389/fdata.2026.1829960.

Saxena U.R., Khatri Y., Kadel R., Shailendra S. A Service Recommendation Model in Cloud Environment Based on Trusted Graph- Based Collaborative Filtering Recommender System. Network. 2025. Vol. 5. No. 3. Art. 30. DOI: 10.3390/network5030030.

Celikbilek I., Celiktas B., Ozdemir E. A Hierarchical Key Assignment Scheme: A Unified Approach for Scalability and Efficiency. IEEE Access. 2024. Vol. 12. Pp. 70568-70580. DOI: 10.1109/ACCESS.2024.3401844.

Lee T. F., Wang J. G., Chen Y. C. Review of hierarchical database access control for E-medicine systems. Tzu Chi Medical Journal. 2023. Vol. 35. No. 2. Pp. 143-147. DOI: 10.4103/tcmj.tcmj_124_22.

Lal S., Kumar N. An efficient flexible hierarchical access control scheme enabling real-life exceptions. Sadhana. 2022. Vol. 47. Art. 20. DOI: 10.1007/s12046-021-01776-0.

Магнус В., Каррас А., Солитэр Д. Комбинаторная теория групп / Пер. с англ. Д.И. Молдаванского, А.А. Фридмана, Ю.И. Хмелевского; Под ред. М.Д. Гриндлингера. М.: Наука. 1974. 456 с.

Neumann P.M. (1973). The SQ-universality of some finitely presented groups. Journal of the Australian Mathematical Society, 16 (1). 1-6. DOI:10.1017/S1446788700013859.

Лоссов К.И. SQ-универсальность свободных произведений с конечными объединенными подгруппами // Сибирский математический журнал. 1986. T. 27. №6. С. 128-139.

Лоссов К.И., Дергилёва А.Э. Защита потоков геоданных с использованием амальгам групп в качестве платформы шифрования // Геодезия и картография. 2026. №6. С. 24-32. DOI: 10.22389/0016-7126-2026-1032-6-24-32.